こんにちは。数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今回は式の計算の展開，指数法則の続きです。
展開
早速ですが問題です。
$$x^2+x^3+x+2+x+x^2+1+x$$
$$x^3+2x^2+3x+3$$
人によると思うけど。。。
たぶん，下の式だよね！
実はこの２つの式はどっちも同じものを表しています。
実際に確認してみましょう。
\begin{align*}
\color{blue}{x^2}+\color{red}{x^3}+\color{green}{x}+2+\color{green}{x}+\color{blue}{x^2}+1+\color{green}{x}
\end{align*}
$\color{blue}{x^2}$や$\color{green}{x}$などの同じ〇〇乗ごとにまとめて，
\begin{align*}
\color{blue}{x^2}+\color{red}{x^3}+\color{green}{x}+2+\color{green}{x}+\color{blue}{x^2}+1+\color{green}{x}
&=\color{red}{x^3}+\color{blue}{x^2}+\color{blue}{x^2}+\color{green}{x}+\color{green}{x}+\color{green}{x}+2+1\\
&=\color{red}{x^3}+2\color{blue}{x^2}+3\color{green}{x}+3.
\end{align*}
このように，$x^2,~x^3$などが出てきたら，
同じものでまとめて（整理して），式を見やすくしましょう。
例題1
次の式を展開せよ。
(1) $3x^2(4x^2-3x-1)$
(2) $(3x+4)(x^2+3x-2)$
今までに使ってきた分配法則
$$\color{red}{A}(B+C)=\color{red}{A}B+\color{red}{A}C,~~~(\color{red}{A}+\color{blue}{B})C=\color{red}{A}C+\color{blue}{B}C$$
を使って式を展開して，最後にまとめればいいです。
例題1の解答
(1)
\begin{align*}
\color{red}{3x^2}(4x^2-3x-1)
&=\color{red}{3x^2}\cdot4x^2+\color{red}{3x^2}\cdot(-3x)+\color{red}{3x^2}\cdot(-1)\\
&=12x^4-9x^3-3x^2
\end{align*}
(2)
\begin{align*}
(\color{red}{3x}+\color{blue}{4})(x^2+3x-2)
=&~\color{red}{3x}(x^2+3x-2)+\color{blue}{4}(x^2+3x-2)\\
=&~\color{red}{3x}\cdot x^2+\color{red}{3x}\cdot 3x+\color{red}{3x}\cdot(-2)\\
&+\color{blue}{4}\cdot x^2+\color{blue}{4}\cdot 3x+\color{blue}{4}\cdot(-2)\\
=&~3x^3+9x^2-6x\\
&+~4x^2+12x-8\\
=&~3x^3+13x^2+6x-8
\end{align*}
中学校で学んだ式の復習
中学校では次の式を学びました。
(2) $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
(3) $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(4) $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
練習問題1
次の式を展開せよ。
(1) $(x+2y)^2$
(2) $(4x-y)^2$
(3) $(4x+y)(4x-y)$
練習問題1の解答
(1)
$$(x+2y)^2=x^2+2x(2y)+(2y)^2=x^2+4xy+4y^2$$
(2)
$$(4x-y)^2=(4x)^2-2\cdot4x\cdot y+y^2=16x^2-8xy+y^2$$
(3)
$$(4x+y)(4x-y)=(4x)^2-y^2=16x^2-y^2$$
練習問題2
(1) $(2x+3)(x+4)$
(2) $(4x+3y)(3x-2y)$
練習問題2の解答
(1)
\begin{align*}
(2x+3)(x+4)
=&~2x(x+4)+3(x+4)\\
=&~2x\cdot x+2x\cdot4+3x+3\cdot4\\
=&~2x^2+8x+3x+12\\
=&~2x^2+11x+12\\
\end{align*}
(2)
\begin{align*}
(4x+3y)(3x-2y)
=&~4x(3x-2y)+3y(3x-2y)\\
=&~4x \cdot 3x+4x \cdot(-2y)+3y \cdot3x+3y \cdot(-2y)\\
=&~12x^2-8xy+9xy-6y^2 \\
=&~12x^2+xy-6y^2 \\
\end{align*}
$(ax+b)(cx+d)$の展開は覚える必要ない
最後に，教科書で
$$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$$
という公式が書かれていますが，
覚える必要は全くありません！
数学が嫌いになる原因の１つに
「知らないから解けない」
というものがあります。
つまり，知識がないから手がつけられないと思ってしまうことです。
数学を好きに（得意に）なりたいなら，
覚えるものを少なくして，
「いつでも導けるから大丈夫」
という気持ちを持てるようにしましょう。
例えばこの公式は覚えなくても上の問題のように展開すればいいだけです。
では，一緒に展開してみましょう！
\begin{align*}
(ax+b)(cx+d)
=&~ax(cx+d)+b(cx+d)\\
=&~ax\cdot cx+ax\cdot d+b \cdot cx+b \cdot d\\
=&~acx^2+adx+bcx+bd\\
=&~acx^2+(ad+bc)x+bd
\end{align*}
どうでしょうか？
ただ単に計算していけばいいだけですよね？
ですので，確かに，この公式は覚える必要がありません。
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