【式の計算】展開 指数法則 わかりやすく 解説

こんにちは。数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。

これから新課程の数学1（数学I）をわかりやすく解説していこうと思います。

指数

小学校の時，同じものをたくさんたくさん足すときに

「かけ算」

をやりました。

$$\underbrace{3+3+3+3}_{\color{red}{4コ}}=3\color{red}{\times4}$$

これと同じように，

同じものをたくさんたくさん掛けるときに

「指数」

を使います。

$$\underbrace{3\times3\times3\times3}_{\color{red}{4コ}}=3^{\color{red}4}$$

いくつか例を挙げておきましょう。

$$\underbrace{2\times2\times2\times2\times2}_{\color{red}{5コ}}=2^{\color{red}5}$$

$$\underbrace{5\times5}_{\color{red}{2コ}}=5^{\color{red}2}$$

$$\underbrace{(-6)\times(-6)\times(-6)}_{\color{red}{3コ}}=(-6)^{\color{red}3}$$

全部の数に使えるように文字で書いておきましょう。

指数の計算

たーこ

次を計算してみよう！

(1)
\begin{align*}
a^\color{blue}{2}\times a^\color{green}{3}
=& (a\times a)\times(a\times a\times a)\\
=&a^5=a^{\color{blue}{2}+\color{green}{3}}.
\end{align*}

(2) 
\begin{align*}
(a^\color{blue}{2})^\color{green}{3}
=&a^\color{bule}{2}\times a^\color{bule}{2}\times a^\color{bule}{2}\\
=& (a\times a)\times(a\times a)\times(a\times a)\\
=&a^6\\
=&a^{\color{blue}{2}\times\color{green}{3}}
\end{align*}

(3)
\begin{align*}
(ab)^\color{blue}{3}
=&(ab)\times(ab)\times(ab)\\
=&(a\times a\times a)\times(b\times b\times b)\\
=&a^\color{blue}{3}\times b^\color{blue}{3}
\end{align*}

これから次が成り立つ：

たーこ

この式は
覚えようとしない
ことが大切だよ!
定義通りに計算の練習をして，
いつの間にか覚えてしまっていたらそれでOK！

例題1

例題1の解答

(1) $$a^3a^4=a^{3+4}=a^7$$
(2) $$(a^3)^4=a^{3\times4}=a^{12}$$
(3) $$(a^2b)^3=(a^2)^3b^3=a^6b^3$$

例題2

例題2の解答

係数は係数，文字は文字でそれぞれ計算すればいい。

\begin{align*}
(3x)^2\times4x^3
=&3^2x^2\times4x^3\\
=&9x^2\times4x^3\\
=&9\times4\times x^2\times x^3\\
=&36x^{2+3}\\
=&36x^{5}
\end{align*}

練習問題1

練習問題1の解答

(1) $$a^5a^2=a^{5+2}=a^7$$
(2) $$aa^6=a^{1+6}=a^7$$
(3) $$(a^4)^2=a^{4\times2}=a^8$$
(4) $$(a^3)^7=a^{3\times 7}=a^{21}$$
(5) $$(ab^3)^2=a^2(b^3)^2=a^2b^{3\times2}=a^2b^6$$
(6) $$(a^2c^4)^5=(a^2)^5(c^4)^5=a^{2\times5}c^{4\times 5}=a^{10}c^{20}$$

練習問題2

練習問題2の解答

(1) $$2x^2\times3x^4=2\times 3\times x^2\times x^4=6x^{2+4}=6x^6$$
(2)
\begin{align*}
8xy\times(-4x^3)^2
=&8xy\times(-4)^2(x^3)^2\\
=&8xy\times16x^{3\times2}\\
=&8xy\times16x^6\\
=&8\times 16 \times x\times x^6\times y\\
=&128 x^{1+6} y\\
=&128 x^7 y
\end{align*}

(3)
\begin{align*}
(2x^2)^3\times9x
=&2^3(x^2)^3\times9x\\
=&8x^{2\times3}\times9x\\
=&8x^6\times9x\\
=&8\times 9\times x^6x\\
=&72\times x^{6+1}\\
=&72 x^7
\end{align*}

(4) 
\begin{align*}
(-2xy^2)^2\times(4xy)^3
=&(-2)^2x^2(y^2)^2\times4^3x^3y^3\\
=&4x^2y^{2\times2}\times64x^3y^3\\
=&4x^2y^4\times64x^3y^3\\
=&4\times64\times x^2x^3\times y^4y^3\\
=&256 x^{2+3} y^{4+3}\\
=&256 x^5 y^7\\
\end{align*}

まとめ