【実数】わかりやすく 解説

わかりやすい高校数学

こんにちは。数学者の妻たーこです。
わかりやすい高校数学」。

今回は「実数」の第1回です。

【この記事を読むと分かること】
1. 数字には名前がついていること
2. その数字の間の関係のイメージ
3. 数字の性質

私たちはこれまで,

$1,2,3,4,\cdots$

$0,-1,-2\cdots$,

$-\frac{13}{5},~\frac{1}{2},~\frac{29}{6},\cdots$,

$-\frac{\sqrt{3}}{5},~\sqrt{2},~\pi,\cdots$

など,たくさんの数字を学んできました。

すると,

「ある数字の集まりには面白い性質があり,

別の数字の集まりにはそのような面白さがない。」

など,数字にも色々な種類があることがわかります。

そこで,

その集まりに名前をつけましょう!

数の集まりに名前をつける

定義 (定義とは決まりのことです。)

$1,2,3,4\cdots$
などを自然数という。

この自然数に
$\cdots,-3,-2,-1,0$
を加えたものを整数という。

更にこの整数に
$-\frac{13}{5},~\frac{1}{2},~~\frac{29}{6}$
などの分数の形を含めたものを有理数という。

この有理数とは別の
$-\frac{\sqrt{3}}{5},~~\sqrt{2},~~\pi$
などの数を無理数という。

最後に,この有理数と無理数を合わせたものを
実数という。

… と言ってもわかりにくいので,絵や,図でかいてみます。

実数(直線)

絵を説明してみます。

  1. 実数というのは定規で書いたまっすぐな線,つまり,直線のことです。
  2. その実数は「有理数(分数の形でかける数字)」と無理数に分けられます。
  3. 有理数の中で,分数の形でない$-3,0,5$などを整数と言います。
  4. 整数の中で,$1,2,3$などの数字を自然数と言います。
実数の図

この図の方が実数有理数無理数に分けられて,

有理数の中に整数があり,整数の中に自然数があることが分かると思います。

では,問題を解いてみましょう。

問題1

問題1 次の文章があっていればO間違っていればXを書きなさい。
1. $-1$は整数である。
2. $1$は整数である。
3. $5$は無理数である。
4. $\frac{1}{3}$は有理数である。
5. $\sqrt{2}$は実数である。

問題1の解答

1. 「$-1$は整数である。」は正しい。(○)

2. 「$1$は整数である。」は正しい。(○)
実際,$1$は自然数で,特に整数ですね。

3. 「$5$は無理数である。」は正しくない。(X)
実際,$5$は整数で,特に有理数です。
無理数は実数の中で,有理数でないものなので,
(文章がわかりにくいと感じたら,上の絵をみましょう。)
有理数である$5$は無理数ではないですね。

4. 「$\frac{1}{3}$は有理数である。」は正しい。(○)
実際,分数の形なので,有理数ですね。

5. 「$\sqrt{2}$は実数である。」は正しい。(○)
実際,$\sqrt{2}$は無理数で,特に,実数です。

例題1

例題1
$a,~b$を自然数とする。
このとき,$a\div b=\frac{a}{b}$は自然数にはならないことがある。
その例を挙げよ。

例題1の解答

例を挙げる。

$a=1, b=2$とする。

すると,
$$1\div 2=\frac{1}{2}$$
となる。これは分数の形をしているので,自然数ではない。

問題2

では,問題を解いてみましょう。

問題2 次の問に答えよ。
(1) $a,~b$を自然数とする。
このとき,$a-b$は自然数にならないことがある。
その例を挙げよ。

(2) $a,~b$を整数とする。ただし,$b\not=0$とする。
このとき,$a\div b$は整数にならないことがある。
その例を挙げよ。

(3) $a,~b$を自然数とする。
このとき,$a\div b=\frac{a}{b}$は自然数にはならないことがあることを例題で学んだ。
一方で,自然数になることもある。その例を挙げよ。

問題2の解答

例を挙げる。

(1) $a=2,~b=5$とおく。
このとき,
$$a-b=2-5=-3.$$
$-3$は自然数でないので,これが例となる。

(2) $a=-3,~b=4$とおく。
このとき,
$$a\div b=-3\div 4=-\frac{3}{4}.$$
これは分数の形をしているので,これが例となる。

(3) $a=9,~b=3$とおく。
このとき,
$$a\div b=9\div 3=3.$$
これは自然数であるので,これが例となる。

他の場合は引き算,割り算はどうなるの?

例題と問題を通して,

自然数,整数,有理数,実数の中で,

自然数は引き算をすると自然数にならないことがありました。

自然数,整数は割り算をするとそれぞれ自然数,整数にならないことがありました。

では,他の場合はどうかというと次のようになります:

自然数の場合

$a,b$を自然数とします。

このとき,

$a+b:$ 自然数

$a-b:$ 自然数にならないことがある。

$a\times b:$ 自然数

$a\div b:$ 自然数にならないことがある。

整数の場合

$a,b$を整数とします。

このとき,

$a+b:$ 整数

$a-b:$ 整数

$a\times b:$ 整数

$a\div b:$ 整数にならないことがある。

有理数の場合

$a,b$を有理数とします。

このとき,

$a+b:$ 有理数

$a-b:$ 有理数

$a\times b:$ 有理数

$a\div b:$ 有理数

実数の場合

$a,b$を実数とします。

このとき,

$a+b:$ 実数

$a-b:$ 実数

$a\times b:$ 実数

$a\div b:$ 実数

つまり,例題と問題でやったものだけ,

ちょっと変なことが起きていることがわかります。

無理数は!?

無理数の場合はちょっと特殊で,しかも,難しいです。

例えば,無理数+無理数が有理数になったります。

もしかすると,高校の先生も知らない内容かもしれません。

興味があれば,本を読んでみることをお勧めします。

まとめ

$\color{blue}{1,2,3\cdots}$を自然数という。
自然数+$\color{blue}{\cdots,-3,-2,-1,0}$を整数という。
整数+分数有理数という。
直線(上の数字)実数という。
実数から有理数を除いたもの無理数という。

この内容は「ちゃんとやろう」と思うより,

数字を楽しもうと思った方が身につくと思います。

図や,表や絵をかいてゆっくり楽しんでいきましょう!

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