【高校数学の分かりやすいサイト】問題解説「指数関数2」

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！

たーこ

今日は指数関数の不等式の問題です。
指数関数の不等式は注意が必要だよ。

夫から聞いた有力な情報によると

夫

大学入試はもちろん大学の先生が問題を作るんだけど，
微分積分とかの分野を研究している人は
「不等式」が好きだから，結構出題するんだよね。

夫

だから，高校生は勉強しておいた方がいいんだけど，
大学に入る前までは扱い慣れてないから，
難しいんだよね〜。

だそうです。

確かに，不等式は大学の数学ではよく出てくるのですが，

高校の数学では相加相乗平均などで出てくるくらいで本格的に

不等式が活躍する機会はあまりありません。

そのため，不等式の問題ができてきたら積極的に取り組みましょう！

問題

解答

問題1の解答

${\color{red}a^x=t}$ とおく。
このとき，
\begin{align*}
0>&~a^{2x+1}-a^{x+3}-a^x+a^2\\
=&~at^2-a^3t-t+a^2\\
=&~at(t-a^2)-(t-a^2)\\
=&~(at-1)(t-a^2)\\
\end{align*}
$0<a<1$ より，これは
$$0>a(t-\frac{1}{a})(t-a^2).$$
よって，($0<a<1$ より)
$$0>(t-\frac{1}{a})(t-a^2).$$
$0<a<1$ より，
$$a^2<\frac{1}{a}.$$

よって，図より，
$$a^2<t<\frac{1}{a}.$$
よって，
$$a^2<a^x<\frac{1}{a}.$$
$log_a$ をとると，$0<a<1$より，
$$\log_a a^2>\log_a a^x>\log_aa^{-1}.$$ 
$$2\log_a a>x\log_a a>-1\log_aa.$$ 
$$2>x>-1.$$ 

問題2の解答

たーこ

問題をもう一度確認！

問題2の解答

${\color{red}3^x+3^{-x}=t}$ とおく。
\begin{align*}
y=&~-(9^x+9^{-x})+2(3^x+3^{-x})+4\\
=&~-(3^x+3^{-x})^2+2\cdot3^x\cdot3^{-x}+2(3^x+3^{-x})+4\\
=&~-(3^x+3^{-x})^2+2+2(3^x+3^{-x})+4\\
=&~-(3^x+3^{-x})^2+2(3^x+3^{-x})+6\\
=&~-t^2+2t+6\\
\end{align*}

$t$ の範囲を求める。
$3^x>0,~3^{-x}>0$ より，
相加相乗平均より，
$$\frac{3^x+3^{-x}}{2}\geqq\sqrt{3^x3^{-x}}=1.$$
よって，
$$3^x+3^{-x}\geqq2.$$
等号成立は $3^x=3^{-x}$ のとき，すなわち，両辺 $\log_3$ をとって，
$x=-x,$ すなわち，$2x=0$, すなわち，$x=0$ のとき。
よって，
$t\geqq 2$ の範囲で
$$y=-t^2+2t+6$$
の最大値を求める。
微分して，
$$-2t+2=0.$$
よって，
$t=1$ で最大値を取りうるが，
$t\geqq2$ より，
$t=2$で最大値
$$-2^2+2\cdot2+6=6$$
を取る。
$t=2$，すなわち，
$$3^x+3^{-x}=2$$
となる $x$ を求める。両辺 $3^x$ 乗して，
$$3^{2x}+1=2\cdot 3^x.$$
よって，
$$3^{2x}-2\cdot 3^x+1=0.$$
よって，
$$(3^x-1)^2=0.$$
よって，
$$3^x=1.$$
よって，
$$x=0.$$
よって，
$x=0$ のとき，最大値 $6$ をとる。