【高校数学の分かりやすいサイト】問題解説「円と直線2」

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！

たーこ

数学には
「1度やっておけば簡単になる問題」
がいくつかあるよ。（初見殺しの問題だね（笑））

今回の問題もその1つだと思うから，しっかりと学んでいこう！

問題
解答
なぜ解答のように考えるのか？
今日のポイント

問題

問題1
　$(1+2a)x+(1-a)y-3+6a=0$ は定数 $a$ がどのような値を取ってもある定点を通る。
　その点の座標を求めよ。

解答

問題1の解答
　$$(1+2a)x+(1-a)y-3+6a=0$$
を $a$ についてまとめると
$$(x+y-3)+a(2x-y+6)=0.$$
この式がどんな $a$ に対しても成立するので，
$$x+y-3=0,~~~2x-y+6=0$$
を満たす。
\begin{equation}
y=-x+3 \tag{1}
\end{equation}
を $2x-y+6=0$ に代入して，
$$2x-(-x+3)+6=0.$$
よって，
$$x=\frac{-3}{3}=-1.$$
これを (1) に代入して
$$y=4.$$
よって，求める点は $(-1,4).$

なぜ解答のように考えるのか？

なぜ $a$ でまとめるの？

たーこ

一緒に考えていこう。

問題は
「$(1+2a)x+(1-a)y-3+6a=0$ は定数 $a$ が
どのような値を取っても
ある定点を通る。」
だったね。
問題文にある通り，
$a$ はどのような値を取ってもいいので，
例えば $a=0$ でもOK。
$a=0$ を問題の式
$$(1+2a)x+(1-a)y-3+6a=0$$
に代入すると，
$$x+y-3=0$$
となり，直線が出てくる。
つまり，求めたい点はこの直線上にあるわけだ。
つまり，この$x+y-3=0$は必ず満たすわけだ。
そこで，元の式にこれを代入すると
$$2ax-ay+6a=0$$
となる。
$a$ でくくると，
$$a(2x-y+6)=0.$$
もう一度問題文を確認すると，
「定数 $a$ がどのような値を取っても」
よいので，今度は $a=1$ などとしてみてもOK.
すると今度は
$$2x-y+6=0$$
という直線が出てくる。
つまり，求めたい点はこの直線上にあるわけだ。
結局，求めたい点は
$$x+y-3=0~~~\text{と}~~~2x-y+6=0$$
という2つの直線の上にあることがわかる。
これはよく見てみると
$$({\color{red}x+y-3})+a({\color{blue}2x-y+6})=0$$
と $a$ でまとめた時に出てくる赤=0 と青＝0 と同じだね。
さて，あとはこのこの連立方程式を解けばよくて，
$$(-1,4)$$
が求める点となる。