こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！
今日は三角関数の問題です。
今日は3問!
入試でよく出る問題だね。
問題
$\tan \theta=3$ のとき，次の式の値を求めよ。
$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}$$
次の等式を証明せよ。
$$\frac{\tan\theta\sin\theta}{\tan\theta-\sin\theta}=\frac{\tan\theta+\sin\theta}{\tan\theta\sin\theta}$$
次の等式を証明せよ。
$$\frac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{1+2\sin\theta\cos\theta}=\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}$$
解答
問題1の解答
$\tan\theta$ がわかっているので，
$\tan\theta\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)$ を作る。
まず，$\tan\theta=3>0$ より $\cos\theta\not=0$.
\begin{align*}
\frac{\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}
=&~\frac{\frac{\sin\theta}{\color{red}\cos\theta}}{\frac{\cos\theta}{\color{red}\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{\color{red}\cos\theta}}\\
=&~\frac{\tan\theta}{1+\tan\theta}=\frac{3}{1+3}=\frac{3}{4}.
\end{align*}
問題2の解答
問題をもう1度確認。
次の等式を証明せよ。
$$\frac{\tan\theta\sin\theta}{\tan\theta-\sin\theta}=\frac{\tan\theta+\sin\theta}{\tan\theta\sin\theta}$$
問題2の解答
\begin{align*}
\text{左辺}-\text{右辺}
=&~\frac{\tan\theta\sin\theta}{\tan\theta-\sin\theta}-
\frac{\tan\theta+\sin\theta}{\tan\theta\sin\theta}\\
=&~\frac{\tan\theta\sin\theta\tan\theta\sin\theta-(\tan\theta+\sin\theta)(\tan\theta-\sin\theta)}{(\tan\theta-\sin\theta)\tan\theta\sin\theta}\\
=&~\frac{\tan^2\theta\sin^2\theta-(\tan^2\theta-\sin^2\theta)}{(\tan\theta-\sin\theta)\tan\theta\sin\theta}\\
=&~\frac{\tan^2\theta(\sin^2\theta-1)+\sin^2\theta}{(\tan\theta-\sin\theta)\tan\theta\sin\theta}\\
=&~\frac{\tan^2\theta(-\cos^2\theta)+\sin^2\theta}{(\tan\theta-\sin\theta)\tan\theta\sin\theta}\\
=&~\frac{\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}(-\cos^2\theta)+\sin^2\theta}{(\tan\theta-\sin\theta)\tan\theta\sin\theta}\\
=&~\frac{-\sin^2\theta+\sin^2\theta}{(\tan\theta-\sin\theta)\tan\theta\sin\theta}\\
=&~0.
\end{align*}
問題3の解答
ラストスパート！
問題3をもう1度確認。
次の等式を証明せよ。
$$\frac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{1+2\sin\theta\cos\theta}=\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}$$
問題3の解答
\begin{align*}
\text{左辺}-\text{右辺}
=&~\frac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{1+2\sin\theta\cos\theta}
-\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\\
=&~\frac{(\cos^2\theta-\sin^2\theta)(1+\tan\theta)-(1+2\sin\theta\cos\theta)(1-\tan\theta)}{(1+2\sin\theta\cos\theta)(1+\tan\theta)}\\
=&~\frac{(\cos^2\theta-\sin^2\theta)(1+\tan\theta)-(1+2\sin\theta\cos\theta)(1-\tan\theta)}{(1+2\sin\theta\cos\theta)(1+\tan\theta)}
\end{align*}
以下分子を考える。
\begin{align*}
(\cos^2\theta-\sin^2\theta)&(1+\tan\theta)-(1+2\sin\theta\cos\theta)(1-\tan\theta)\\
=&~\cos^2\theta-\sin^2\theta+\cos^2\theta\tan\theta-\sin^2\theta\tan\theta\\
&~-1-2\sin\theta\cos\theta+\tan\theta+2\sin\theta\cos\theta\tan\theta\\
=&~\cos^2\theta-\sin^2\theta+\cos^2\theta\frac{\sin\theta}{\cos\theta}-\sin^2\theta\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\
&~-1-2\sin\theta\cos\theta+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+2\sin\theta\cos\theta\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\
=&~\cos^2\theta{\color{red}-\sin^2\theta}{\color{green}+\cos\theta\sin\theta}-\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}\\
&~-1{\color{green}-2\sin\theta\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}{\color{red}+2\sin^2\theta}\\
=&~{\color{red}\cos^2\theta+\sin^2\theta}-\cos\theta\sin\theta-\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}
-1+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\
=&~{\color{red}1}-\cos\theta\sin\theta-\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}
-1+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\
=&~-\cos\theta\sin\theta-\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}
+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\
=&~\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\left(
-\cos^2\theta-\sin^2\theta+1
\right)\\
=&0.
\end{align*}
左辺-右辺
を計算して，=0となることを示す。
