こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！
今日は三角関数の問題だよ。
三角関数は計算好きにはたまらないよね！
問題
$\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき，次の式の値を求めよ。
ただし，$180^\circ<\theta<270^\circ$ とする。
(1) $\sin\theta\cos\theta$
(2) $\sin\theta+\cos\theta$
$\sin\theta+\cos\theta=t$ のとき，次の式を $t$ で表せ。
(1) $\sin\theta\cos\theta$
(2) $\sin^3\theta+\cos^3\theta$
解答
問題1の解答
(1)
$\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$ であるから，
両辺2乗して，
\begin{align*}
\frac{1}{5}
=&~(\sin\theta-\cos\theta)^2\\
=&~\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta\\
=&~1-2\sin\theta\cos\theta.\\
\end{align*}
よって，
$$\sin\theta\cos\theta=\frac{2}{5}.$$
(2)
\begin{align*}
(\sin\theta+\cos\theta)^2
=&~\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta\\
=&~1+2\cdot\frac{2}{5}\\
=&~\frac{9}{5}.
\end{align*}
よって，
$$\sin\theta+\cos\theta=\pm\sqrt{\frac{9}{5}}=\pm\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$
$180^\circ<\theta<270^\circ$ より，
$$\sin\theta<0,~\cos\theta<0.$$
よって，
$$\sin\theta+\cos\theta=-\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$
問題2の解答
問題をもう1度確認。
$\sin\theta+\cos\theta=t$ のとき，次の式を $t$ で表せ。
(1) $\sin\theta\cos\theta$
(2) $\sin^3\theta+\cos^3\theta$
問題2の解答
$\sin\theta+\cos\theta=t$ より，両辺2乗して，
\begin{align*}
t^2
=&~(\sin\theta+\cos\theta)^2\\
=&~\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta\\
=&~1+2\sin\theta\cos\theta\\
\end{align*}
よって，
$$\sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2}.$$
(2)
\begin{align*}
\sin^3\theta+\cos^3\theta
=&~(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)\\
=&~t\cdot(1-\frac{t^2-1}{2})\\
=&~\frac{t(-t^2+3)}{2}.\\
\end{align*}
