【高校数学の分かりやすいサイト】問題解説「加法定理」

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！

たーこ

今日は加法定理の問題です。
加法定理は覚えておかないといけないけど，
それ以外はその都度導くようにしよう！

問題
解答

問題

問題
$x$ の方程式
$$\cos2x+2k\sin x+k-4=0$$
が $0^\circ\leqq x \leqq180^\circ$
の範囲で異なる２つの解を持つための $k$ の条件を定めよ。

解答

まず，$\cos2x+2k\sin x+k-4=0$
には $\cos2x$, $\sin x$ が含まれているので，
$\cos2x$ を変形して，$\sin x$のみの式にする。
加法定理
$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$
より，$b=a$ とおくと，
\begin{align*}
\cos 2a
=&~\cos a\cos a-\sin a\sin a\\
=&~\cos^2 a-\sin^2 a
\end{align*}
ここで，$\sin^2a+\cos^2a=1$
より，
\begin{align*}
\cos 2a
=&~(1-\sin^2a)-\sin^2 a\\
=&~-2\sin^2 a+1
\end{align*}
よって，
$$\cos2x+2k\sin x+k-4=0$$
は
$$-2\sin^2 x+1+2k\sin x+k-4=0,$$
$$-2\sin^2 x+2k\sin x+k-3=0.$$
ここで，
$t=\sin x$
とおくと，
$$-2t^2+2kt+k-3=0.$$
ここで，
$0^\circ\leqq x \leqq180^\circ$ より，
$0\leqq t\leqq 1.$

ここで，
$t=\sin x=1$ のときは
$x=90^\circ$
とただ１つの解を持つが，
それ以外で $t$ が解を1つ持つと
$x$ は解を２つ持つ。
よって，
$$y=f(t)=-2t^2+2kt+k-3$$
とおいて，これが
$0\leqq t<1$
で解をただ１つ持つときを求めればよい。

\begin{align*}
y=f(t)
=&~-2t^2+2kt+k-3\\
=&~-2\Big(t-\frac{k}{2}\Big)^2-2\frac{k^2}{4}+k-3\\
=&~-2\Big(t-\frac{k}{2}\Big)^2-\frac{k^2}{2}+k-3
\end{align*}

これは次のいずれかの場合が考えられる。

(1) 図のように接するとき

これは，判別式を $D$ として，
$$\frac{D}{4}=k^2-(-2)(k-3)=k^2+2k-6=0,$$
すなわち，
$$k=-1+\sqrt{7},-1-\sqrt{7}.$$
$0\leqq t<1$ で解を持つので，
$$0\leqq \frac{k}{2}<1$$
となる必要がある。
よって，
$$0\leqq k<2$$
であるので，
$$k=-1+\sqrt{7}.$$

(2) 図のように $f(0)\geqq0$ かつ $f(1)<1$