【高校数学の分かりやすいサイト】問題解説「極限値」

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！

たーこ

今日は「極限値」の問題だよ。
定義をしっかりおさえているか，
確認できるいい問題だね！

問題

解答

問題1の解答

まずは，微分の定義を確認する。

$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

よって，

この形になるように式を変形することを考える。

そのために，

$\color{red}{x-a=h}$とおく。

$x=a+h$ である。

このとき，

\begin{align*}
&\frac{af(x)-xf(a)}{x-a}\\
&=\frac{af(h+a)-(h+a)f(a)}{h}\\
&=\frac{af(h+a)-hf(a)-af(a)}{h}\\
&=\frac{af(h+a)-af(a)-hf(a)}{h}\\
&=\frac{af(h+a)-af(a)}{h}-\frac{hf(a)}{h}\\
&=a\frac{f(h+a)-f(a)}{h}-f(a)\\
\end{align*}

よって，

\begin{align*}
&\lim_{x\rightarrow a}\frac{af(x)-xf(a)}{x-a}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\Big(a\frac{f(h+a)-f(a)}{h}-f(a)\Big)\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}a\frac{f(h+a)-f(a)}{h}-\lim_{h\rightarrow 0}f(a)\\
&=a\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h+a)-f(a)}{h}-\lim_{h\rightarrow 0}f(a)\\
&=af'(a)-f(a).
\end{align*}

問題2の解答

たーこ

もう1度，問題を確認！

解答

$\color{red}{x-a=h}$とおく。

$x=a+h$ である。

このとき，

\begin{align*}
&\frac{x^2f(x)-a^2f(a)}{x-a}\\
&=\frac{(a+h)^2f(a+h)-a^2f(a)}{h}\\
&=\frac{(a^2+2ah+h^2)f(a+h)-a^2f(a)}{h}\\
&=\frac{a^2f(a+h)+2ahf(a+h)+h^2f(a+h)-a^2f(a)}{h}\\
&=\frac{a^2f(a+h)-a^2f(a)+2ahf(a+h)+h^2f(a+h)}{h}\\
&=\frac{a^2f(a+h)-a^2f(a)}{h}+\frac{2ahf(a+h)}{h}+\frac{h^2f(a+h)}{h}\\
&=a^2\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+2af(a+h)+hf(a+h).
\end{align*}

よって，

\begin{align*}
&\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2f(x)-a^2f(a)}{x-a}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\Big(a^2\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+2af(a+h)+hf(a+h)\Big)\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}a^2\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
+\lim_{h\rightarrow 0}2af(a+h)
+\lim_{h\rightarrow 0}hf(a+h)\\
&=a^2\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
+2a\lim_{h\rightarrow 0}f(a+h)
+\lim_{h\rightarrow 0}hf(a+h)\\
&=a^2f'(a)
+2af(a)
+0\cdot f(a)\\
&=a^2f'(a)
+2af(a).
\end{align*}

まとめ