【高校数学の分かりやすいサイト】問題解説「三角関数の合成」

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！

たーこ

今日は三角関数の合成の問題だよ。
三角関数の合成は

覚えずに

加法定理から導けるようにしておこう！

問題

解答

$x$ の動く範囲を求める。
\begin{align*}
x
=&\sin\theta+\cos\theta\\
=&\color{red}{1}\sin\theta+{\color{red}1}\cos\theta\\
=&\color{red}{\sqrt{1^2+1^2}}\,\Big(\sin\theta\cdot \frac{1}{\color{red}{\sqrt{1^2+1^2}}}
+\cos\theta\cdot\frac{1}{\color{red}{\sqrt{1^2+1^2}}}\Big)\\
=&\sqrt{2}\,\Big(\sin\theta\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos\theta\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)\\
=&\sqrt{2}\,(\sin\theta\cos45^\circ+\sin\theta\cos45^\circ)\\
=&\sqrt{2}\,\sin(\theta+45^\circ)
\end{align*}
$0^\circ\leqq\theta<360^\circ$ より，
$45^\circ\leqq\theta+45^\circ<405^\circ.$

よって，
$-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}.$

次に，
$$y=\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$
より，
\begin{align*}
x^2
=&\,(\sin\theta+\cos\theta)^2\\
=&\,\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta\\
=&\, 1+2\sin\theta\cos\theta\\
=&\,1+y
\end{align*}
よって，
$$y=x^2-1.$$
よって，
求める点 $(x,y)$ は
放物線 $y=x^2-1$  $(-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2})$ 上を動く。