【高校数学の分かりやすいサイト】問題解説「指数関数」

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！

たーこ

指数関数独特の扱いにしっかり慣れていこう！

問題

解答

問題1の解答

$(1)$ 
\begin{align*}
(a^x+a^{-x})^2
=&~(a^x)^2+2a^xa^{-x}+(a^{-x})^2\\
=&~a^{2x}+2+a^{-2x}\\
=&~3+2+\frac{1}{3}\\
=&~\frac{16}{3}.
\end{align*}
よって，
$$a^x+a^{-x}=\pm \sqrt{\frac{16}{3}}=\pm\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$
ここで，$a>0$ より $a^x>0$, 
よって，
$$a^x+a^{-x}>0.$$
よって，
$$a^x+a^{-x}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

(2) 
\begin{align*}
(2^x+2^{-x})^3
=&~(2^{x})^3+3\cdot(2^x)^2\cdot2^{-x}+3\cdot2^x\cdot(2^{-x})^2+(2^{-x})^3\\
=&~2^{3x}+3\cdot2^{2x}\cdot2^{-x}+3\cdot2^x\cdot2^{-2x}+2^{-3x}\\
=&~8^{x}+3\cdot2^{x}+3\cdot2^{-x}+8^{-x}\\
=&~8^{x}+8^{-x}+3(2^{x}+2^{-x}).\\
\end{align*}
よって，
\begin{align*}
8^{x}+8^{-x}=(2^x+2^{-x})^3-3(2^{x}+2^{-x})=t^3-3t.
\end{align*}

問題2の解答

たーこ

問題をもう一度確認！

問題2の解答

まずは分母の $a^x+a^{-x}$ を求める。

\begin{align*}
(a^x+a^{-x})^2
=&~(a^x)^2+2a^xa^{-x}+(a^{-x})^2\\
=&~a^{2x}+2+a^{-2x}\\
=&~\sqrt{2}+1+2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}\\
=&~\sqrt{2}+3+\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\
=&~\sqrt{2}+3+\sqrt{2}-1\\
=&~2\sqrt{2}+2.
\end{align*}
よって，
$$a^x+a^{-x}=\pm \sqrt{2\sqrt{2}+2}.$$

次に，分子の $a^{3x}+a^{-3x}$ を求める。
\begin{align*}
(a^x+a^{-x})^3
=&~(a^{x})^3+3\cdot(a^x)^2\cdot a^{-x}+3\cdot a^x\cdot(a^{-x})^2+(a^{-x})^3\\
=&~a^{3x}+3\cdot a^{2x}\cdot a^{-x}+3\cdot a^x\cdot a^{-2x}+a^{-3x}\\
=&~a^{3x}+3\cdot a^{x}+3\cdot a^{-x}+a^{-3x}\\
=&~a^{3x}+a^{-3x}+3(a^{x}+a^{-x}).
\end{align*}
よって，
\begin{align*}
a^{3x}+a^{-3x}=(a^x+a^{-x})^3-3(a^{x}+a^{-x}).
\end{align*}
よって，
\begin{align*}
\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}
=&~\frac{(a^x+a^{-x})^3-3(a^{x}+a^{-x})}{a^x+a^{-x}}\\
=&~(a^x+a^{-x})^2-3\\
=&~\Big(\pm \sqrt{2\sqrt{2}+2}\Big)^2-3\\
=&~2\sqrt{2}+2-3\\
=&~2\sqrt{2}-1.\\
\end{align*}

問題2の別解

\begin{align*}
a^{3x}+a^{-3x}
=&~(a^x+a^{-x})((a^x)^2-a^xa^{-x}+(a^{-x})^2)\\
=&~(a^x+a^{-x})(a^{2x}-1+a^{-2x}).
\end{align*}
よって，
\begin{align*}
\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}
=&~\frac{(a^x+a^{-x})(a^{2x}-1+a^{-2x})}{a^x+a^{-x}}\\
=&~a^{2x}-1+a^{-2x}\\
=&~\sqrt{2}+1-1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}\\
=&~\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\
=&~\sqrt{2}+\sqrt{2}-1\\
=&~2\sqrt{2}-1.
\end{align*}