【高校数学の分かりやすいサイト】問題解説「直線の方程式」

良問集

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。

今日も楽しんでいきましょう!

今日も楽しんでいきましょう!

たーこ
たーこ

今日は「直線の方程式」だよ。

問題1
 次の2点を通る直線の方程式を求めよ。
 $(4,-3),~~(-2,5)$
問題2
 次の3直線が1点で交わるように,定数$a$の値を求めよ。
$$x-3y=1,~~2x+y=a,~~3x+4y=a+7$$
 

問題1

もう一度問題を確認。

問題1
 次の2点を通る直線の方程式を求めよ。
 $(4,-3),~~(-2,5)$

問題1の解答

解答1(解答例)
 $$y-(-3)=\frac{5-(-3)}{-2-4}(x-4)$$
を整理して,
$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}.$$
知っておくべき知識はこれだけ:
2点 $({\color{green}a},{\color{red}b}), ({\color{green}c},{\color{red}d})$ を通る直線の方程式は
 $$y-{\color{red}b}=\frac{{\color{red}d}-{\color{red}b}}{{\color{green}c}-{\color{green}a}}(x-{\color{green}a})$$

次の形も同じ:
$$y-{\color{red}d}=\frac{{\color{red}b}-{\color{red}d}}{{\color{green}a}-{\color{green}c}}(x-{\color{green}c})$$

生徒
生徒

本当ですか?

たーこ
たーこ

そう思えた時がレベルアップのチャンス
数学ができるようになるタイミングは「考えている最中」なので,
問題を解くことよりも疑問に思う気持ちを大切にしよう!
(証明が気になる人はこのページの最後へ)

問題2

では,問題2に挑もう。

問題2
 次の3直線が1点で交わるように,定数$a$の値を求めよ。
$$x-3y=1,~~2x+y=a,~~3x+4y=a+7$$

問題2の解答

解答2
 2つの直線 $x-3y=1,~~2x+y=a$ の交点を求める。
$$x=3y+1$$

$$2x+y=a$$
に代入すると,
\begin{align*}
y
=&-2x+a\\
=&-2(3y+1)+a\\
=&-6y-2+a.
\end{align*}
よって,
$$y=\frac{-2+a}{7}$$
$$x=3y+1$$
に代入して,
$$x=3\frac{-2+a}{7}+1=\frac{-6+3a+7}{7}=\frac{3a+1}{7}.$$
以上より,交点は
$$(x,y)=\left(\frac{3a+1}{7},\frac{-2+a}{7}\right).$$
直線$~3x+4y=a+7$はこの交点を通るので,
代入すると
\begin{align*}
3\left(\frac{3a+1}{7}\right)+4\left(\frac{-2+a}{7}\right)=a+7.
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
\frac{9a+3-8+4a}{7}=a+7.
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
9a+4a-7a=49+5
\end{align*}
よって,
$$a=\frac{54}{6}=9.$$

今日のポイント

2本の直線は(基本的に)1点で交わる!
2本の直線が平行の時は交わらないね。

おまけの証明

たーこ
たーこ

気になる人は
$$y-{\color{red}b}=\frac{{\color{red}d}-{\color{red}b}}{{\color{green}c}-{\color{green}a}}(x-{\color{green}a})$$

$$y-{\color{red}d}=\frac{{\color{red}b}-{\color{red}d}}{{\color{green}a}-{\color{green}c}}(x-{\color{green}c})$$
が同じになることを確かめていこう。

\begin{align*}
y-b=\frac{d-b}{c-a}(x-a)\\
\end{align*}

左辺の $b$ を右辺に移行して,

\begin{align*}
y=&~\frac{d-b}{c-a}(x-a)+b\\
=&~\frac{d-b}{c-a}x-a\frac{d-b}{c-a}+b\frac{c-a}{c-a}\\
=&~\frac{d-b}{c-a}x+\frac{-a(d-b)+b(c-a)}{c-a}\\
=&~\frac{d-b}{c-a}x+\frac{-ad+ab+bc-ba}{c-a}\\
=&~\color{red}{\frac{d-b}{c-a}x+\frac{-ad+bc}{c-a}}
\end{align*}

一方で,
\begin{align*}
y-d=\frac{b-d}{a-c}(x-c)
\end{align*}

\begin{align*}
y
=&~\frac{b-d}{a-c}(x-c)+d\\
=&~\frac{b-d}{a-c}x-c\frac{b-d}{a-c}+d\frac{a-c}{a-c}\\
=&~\frac{b-d}{a-c}x+\frac{-c(b-d)+d(a-c)}{a-c}\\
=&~\frac{b-d}{a-c}x+\frac{-cb+cd+da-dc}{a-c}\\
=&~\frac{b-d}{a-c}x+\frac{-cb+da}{a-c}\\
=&~\frac{-(b-d)}{-(a-c)}x+\frac{-(-cb+da)}{-(a-c)}\\
=&~\color{blue}{\frac{-b+d}{-a+c}x+\frac{cb-da}{-a+c}}
\end{align*}

たーこ
たーこ

y=赤の部分とy=青の部分が同じだから,これで同じことが確かめられたね!

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