【式の計算】因数分解3 わかりやすく 解説

こんにちは。数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。

今回は「式の計算」の【因数分解】の第3回です。

問題

いきなりですが，問題です。

次の式を因数分解してみましょう。

$(1)~X^2-Y^2$
$(2)~yX-2X$
$(3)~2Xx+(y+3)X$

問題の解答

(1) 公式ですね。
$$X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y).$$

(2) $X$でまとめて，
$$yX-2X=X(y-2).$$

(3) 同様に$X$でまとめて，
$$X(2x+y+3).$$

今日やるのはこれだけ

さて，今日やりたいのは，上で解いた問題だけです。。。

そうです。

今までとほとんど全く同じ問題です。

今日やりたいことの本質はたったこれだけです。

では，次の問題を解いてみましょう！

問題2

問題2の解答

この問題を見るとちょっとびっくりするかもしれませんが，
じっとみてみましょう。

どうでしょうか？

見えてきましたでしょうか？

まず解答の１つ目としては，

$(x+2y)^2-(2x-y)^2$

を展開してしまって，

計算すればいいです。

数学は道はいろいろありますが，

泥臭くても，

最後まで答えに辿り着ければそれでOKです。

綺麗さや美しさや，すっきりした解答などは，

答えに辿り着いてから，解答を見れば十分です。

それよりも，1題1題にじっくりゆっくり向き合いましょう。

それが数学ができるようになる1番の近道です。

では，前置きが長くなりましたが，

$(x+2y)^2-(2x-y)^2$

を因数分解してみましょう。

解答

$\color{red}{X=x+2y},~~\color{red}{Y=2x-y}$
とおく。
（すると，最初に解いた問題と同じ式になりますね。）

\begin{align*}
(x+2y)^2-(2x-y)^2
=&~X^2-Y^2\\
=&~(X+Y)(X-Y)\\
=&~(x+2y+2x-y)(x+2y-(2x-y))\\
=&~(3x+y)(-x+3y)\\
=&~-(3x+y)(x-3y).
\end{align*}

問題3

問題3の解答

今回は，$“X=\bigcirc”$ とおかない方法でやってみましょう。
(もちろん，おいてもOKです。やり方は自分思いついた方法で試してみるといいですよ。)

\begin{align*}
y(x-1)+2(-x+1)
=&~y(x-1)-2(x-1)\\
=&~y(\color{red}{x-1})-2(\color{red}{x-1})\\
=&~(\color{red}{x-1})(y-2).
\end{align*}

問題4

問題4の解答

\begin{align*}
x^2+xy-x+y-2
=&~x^2+\color{red}{x}y-\color{red}{x}+y-2\\
=&~x^2+(y-1)x+y-2\\
=&~(x+y-2)(x+1).
\end{align*}

最後の等式は前回やったように，
$y$ を文字だと思って，
表を書いて計算すればいいですね。

まとめ

何度も言いますが，因数分解は展開よりも難しいです。

いろいろ考えて，失敗して，答えに辿り着く分野です。

ゆっくり，じっくり，頑張っていきましょう！