こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
今日も楽しんでいきましょう！
今日も楽しんでいきましょう！
今日は「直線の方程式」だよ。
次の２点を通る直線の方程式を求めよ。
$(4,-3),~~(-2,5)$
次の３直線が１点で交わるように，定数$a$の値を求めよ。
$$x-3y=1,~~2x+y=a,~~3x+4y=a+7$$
問題1
もう一度問題を確認。
次の２点を通る直線の方程式を求めよ。
$(4,-3),~~(-2,5)$
問題1の解答
$$y-(-3)=\frac{5-(-3)}{-2-4}(x-4)$$
を整理して，
$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}.$$
$$y-{\color{red}b}=\frac{{\color{red}d}-{\color{red}b}}{{\color{green}c}-{\color{green}a}}(x-{\color{green}a})$$
次の形も同じ：
$$y-{\color{red}d}=\frac{{\color{red}b}-{\color{red}d}}{{\color{green}a}-{\color{green}c}}(x-{\color{green}c})$$
本当ですか？
そう思えた時がレベルアップのチャンス！
数学ができるようになるタイミングは「考えている最中」なので，
問題を解くことよりも疑問に思う気持ちを大切にしよう！
（証明が気になる人はこのページの最後へ）
問題2
では，問題２に挑もう。
次の３直線が１点で交わるように，定数$a$の値を求めよ。
$$x-3y=1,~~2x+y=a,~~3x+4y=a+7$$
問題2の解答
2つの直線 $x-3y=1,~~2x+y=a$ の交点を求める。
$$x=3y+1$$
を
$$2x+y=a$$
に代入すると，
\begin{align*}
y
=&-2x+a\\
=&-2(3y+1)+a\\
=&-6y-2+a.
\end{align*}
よって，
$$y=\frac{-2+a}{7}$$
$$x=3y+1$$
に代入して，
$$x=3\frac{-2+a}{7}+1=\frac{-6+3a+7}{7}=\frac{3a+1}{7}.$$
以上より，交点は
$$(x,y)=\left(\frac{3a+1}{7},\frac{-2+a}{7}\right).$$
直線$~3x+4y=a+7$はこの交点を通るので，
代入すると
\begin{align*}
3\left(\frac{3a+1}{7}\right)+4\left(\frac{-2+a}{7}\right)=a+7.
\end{align*}
よって，
\begin{align*}
\frac{9a+3-8+4a}{7}=a+7.
\end{align*}
よって，
\begin{align*}
9a+4a-7a=49+5
\end{align*}
よって，
$$a=\frac{54}{6}=9.$$
今日のポイント
おまけの証明
気になる人は
$$y-{\color{red}b}=\frac{{\color{red}d}-{\color{red}b}}{{\color{green}c}-{\color{green}a}}(x-{\color{green}a})$$
と
$$y-{\color{red}d}=\frac{{\color{red}b}-{\color{red}d}}{{\color{green}a}-{\color{green}c}}(x-{\color{green}c})$$
が同じになることを確かめていこう。
\begin{align*}
y-b=\frac{d-b}{c-a}(x-a)\\
\end{align*}
左辺の $b$ を右辺に移行して，
\begin{align*}
y=&~\frac{d-b}{c-a}(x-a)+b\\
=&~\frac{d-b}{c-a}x-a\frac{d-b}{c-a}+b\frac{c-a}{c-a}\\
=&~\frac{d-b}{c-a}x+\frac{-a(d-b)+b(c-a)}{c-a}\\
=&~\frac{d-b}{c-a}x+\frac{-ad+ab+bc-ba}{c-a}\\
=&~\color{red}{\frac{d-b}{c-a}x+\frac{-ad+bc}{c-a}}
\end{align*}
一方で，
\begin{align*}
y-d=\frac{b-d}{a-c}(x-c)
\end{align*}
は
\begin{align*}
y
=&~\frac{b-d}{a-c}(x-c)+d\\
=&~\frac{b-d}{a-c}x-c\frac{b-d}{a-c}+d\frac{a-c}{a-c}\\
=&~\frac{b-d}{a-c}x+\frac{-c(b-d)+d(a-c)}{a-c}\\
=&~\frac{b-d}{a-c}x+\frac{-cb+cd+da-dc}{a-c}\\
=&~\frac{b-d}{a-c}x+\frac{-cb+da}{a-c}\\
=&~\frac{-(b-d)}{-(a-c)}x+\frac{-(-cb+da)}{-(a-c)}\\
=&~\color{blue}{\frac{-b+d}{-a+c}x+\frac{cb-da}{-a+c}}
\end{align*}
y=赤の部分とy=青の部分が同じだから，これで同じことが確かめられたね!
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