【コラッツの問題】数学の未解決問題懸賞金1億2000万円!?

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
今日は数学への興味を沸かせる勉強（？）です。

【この記事を読むと分かること】
1. コラッツの問題とは何か
2. コラッツの問題は何が難しいのか
3. コラッツの問題の懸賞金
4. コラッツの問題の部分的な解決

みなさんは数学の問題1問を解くのに何分かかるでしょうか？

1分もかからないものもあれば，
30分，1時間かけてようやく解けるものもあると思います。

さて今回紹介する問題は

「$3x+1$問題」または「コラッツの問題」

と呼ばれる数学の問題です。
数学者が束になって研究していますが，
今だに解けていない問題，
つまり，未解決問題です。

その期間なんと

80年以上!

この問題は理解するのにはそれほど苦労しません。

では問題を見ていきましょう。

3x+1問題（コラッツの問題）
1. 例
懸賞金1億2000万円!?
問題の何がそんなに難しいのか？
1. その1 整数が無限個あること
2. その2 おそらく正しいということ
天才テレンスタオがほぼ全ての正の整数に対して，ほぼ正しいことを証明!?
まとめ

3x+1問題（コラッツの問題）

$3x+1$問題（コラッツの問題）
どんな正の整数をとっても，次の試行を続けていくと最終的には
$$4,2,1,4,2,1,4,2,1$$
となる。

試行：
奇数の場合：3を掛けて1を足す
偶数の場合：2で割る

例

では，例を見ていきましょう。

「正の整数」として，38をとり，
これを問題の試行に沿ってどうなるか見てみようと思います。

38 は偶数でなので，「2で割ります」
$$38\div2=19.$$

19が出てきます。

この数字は奇数なので，「3を掛けて1を足します」
$$3\times19+1=58.$$

58は偶数なので，「2で割ります」
$$58\div2=29.$$

以下同様に進めていくと，
$$29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16$$
となります。

16 は偶数なので，「2で割ります」
$$16\div2=8.$$
8 は偶数なので，「2で割ります」
$$8\div2=4.$$
4は偶数なので，「2で割ります」
$$4\div 2=2.$$
2は偶数なので，「2で割ります」
$$2\div 2=1.$$
$1$は奇数なので，「3を掛けて1を足します」
$$3\times1+1=4.$$
4はすでに出てきたので，あとは$4,2,1,4,2,1$の繰り返しになります。

このように１つの正の整数から始めて，
上の試行を繰り返すと必ず最後は $4,2,1,4,2,1$
となりそうだ。

というのが $3x+1$問題（コラッツの問題）です。

懸賞金1億2000万円!?

実はこの問題には懸賞金がかけられています。
https://mathprize.net/ja/posts/collatz-conjecture/
その額

1億2000万円!

数学の問題に懸賞金がかけられるのは実は昔からある習慣で
珍しいものではありません。

実際，他にも1億円越えの問題はたくさん知られています。

数学に興味をもった人なら誰でも挑戦できますので，
ぜひ挑戦してみてはいかがでしょうか？

問題の何がそんなに難しいのか？

では何がそんなに難しいのか，表面的ではありますが，
見ていきましょう！

その1 整数が無限個あること

今回の問題は

「どんな正の整数をとっても」

という文章から始まっている通り，
証明しなくてはならないのは，
$$1,2,3,4,5,6,7,\cdots,129874629201984791389,\cdots$$
と全ての正の整数に対してこの試行をした結果
$$4,2,1,4,2,1$$
となることを言う必要があります。

しかし，整数は無限個あるので，
仮に１つ１つコンピュータを使って試して行っても永遠に
正しいことは証明できないわけです。

その2 おそらく正しいということ

これは数学の問題によくあることですが，
数学の問題は基本的に
「正しい」か「正しくない」か
の2択です。

そのため，もし，この問題が
「正しくない」
ことを示すことができれば，それで問題は解けた
と言うことになります。

いわゆる「反例を見つける」と言うものです。

しかし，おそらくこの問題は正しいとされており，
スパコンを使って反例を探すのは無理と思われています。