こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！
今回の問題はちょっと注意が必要だよ。
しっかり学んでいこう！
問題
$m$ の値を変化させるとき，2直線
$$mx-y=0,~~x+my=2$$
の交点の軌跡を求めよ。
$m$ の値を変化させるとき，2直線
$$x-my=2,~~(m-1)x+my=1$$
の交点の軌跡を求めよ。
解答例
問題1の解答
求める点を$(X,Y)$とおく。
これは
\begin{equation}
mX-Y=0, \tag{1}
\end{equation}
\begin{equation}
X+mY=2, \tag{2}
\end{equation}
を満たす。
$m$を消去する。
${\color{red}X\not=0}$ のとき，
$mX-Y=0$ より
$$m=\frac{Y}{X}.$$
これをもう1つの式
$$X+mY=2,$$
に代入すると
$$X+\frac{Y}{X}Y=2,$$
$$X^2+Y^2=2X,$$
$$X^2-2X+Y^2=0,$$
$$(X-1)^2-1+Y^2=0,$$
$$(X-1)^2+Y^2=1.$$
よって，$X\not=1$のとき，
$$(X-1)^2+Y^2=1.$$
$X=0$ のとき，
(1) より $Y=0.$
$(X,Y)=(0,0)$ は (2) を満たさない。
よって，交点の軌跡は
$$(x-1)^2+y^2=1,$$
ただし，点 $(0,0)$ は除く。
問題2の解答
もう1度問題を確認！
$m$ の値を変化させるとき，2直線
$$x-my=2,~~(m-1)x+my=1$$
交点の軌跡を求めよ。
問題2の解答
求める点を $(X,Y)$ とおく。
これは
\begin{equation}
X-mY=2, \tag{3}
\end{equation}
\begin{equation}
(m-1)X+mY=1 \tag{4}
\end{equation}
を満たす。
$m$ を消去する。
${\color{red} Y\not=0}$ のとき，
$X-mY=2$ より
$$m=\frac{X-2}{Y}.$$
これをもう1つの式
$$(m-1)X+mY=1$$
に代入すると，
$$\left(\frac{X-2}{Y}-1\right) X+\frac{X-2}{Y}Y=1,$$
両辺に $Y$ をかけて，
$$(X-2)X-XY+(X-2)Y=Y$$
$$X^2-2X-XY+XY-2Y=Y$$
$$X^2-2X=3Y.$$
よって，
$$Y=\frac{1}{3}(X^2-2X)$$
ここで，この式で $Y=0$ とおいてみると，
$$X=0,~2$$
となる。
$Y=0$ のときを考える。
(3) に代入して，$X=2.$
よって，
$$Y=\frac{1}{3}(X^2-2X)$$
において，$(X,Y)=(0,0)$ は通らない。
よって，求める軌跡は
$$y=\frac{1}{3}(x^2-2x),$$
ただし，$(x,y)=(0,0)$ は除く。
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