こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！
今日は三角関数の問題です。
今日は２問。
１つ１つ丁寧に解いていこう。
問題
$\frac{1}{\sin\theta}+\frac{1}{\cos\theta}=2\sqrt{2}$ のとき，次の問いに答えよ。
ただし，$\theta$ は第1象限の角とする。
(a) $\sin\theta\cos\theta$, $\sin\theta+\cos\theta$ の値をそれぞれ求めよ。
(b) $\theta$ の値を求めよ。
$2$次方程式 $4x^2+2(\sqrt{3}-1)x+k=0$ の２つの解が $\sin\theta$, $\cos \theta$
であるとき，$k$ の値および $\theta$ の値を求めよ。
解答
問題1の解答
(a)
$\sin\theta\cos\theta$を作る。
$$\frac{1}{\sin\theta}+\frac{1}{\cos\theta}=2\sqrt{2}$$
より，
$$\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}=2\sqrt{2}.$$
よって，
\begin{equation}
\sin\theta+\cos\theta=2\sqrt{2}\sin\theta\cos\theta.\tag{1}
\end{equation}
両辺2乗して，
$$(\sin\theta+\cos\theta)^2=8\sin^2\theta\cos^2\theta.$$
よって，
$$\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=8\sin^2\theta\cos^2\theta.$$
よって，
$$8\sin^2\theta\cos^2\theta-2\sin\theta\cos\theta-1=0.$$
よって，
$$(4\sin\theta\cos\theta+1)(2\sin\theta\cos\theta-1)=0.$$
よって，
$$\sin\theta\cos\theta=-\frac{1}{4},\frac{1}{2}.$$
$\theta$ は第1象限の角より，
$$\sin\theta>0,\cos\theta>0.$$
以上より，
\begin{equation}
\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}.\tag{2}
\end{equation}
(1) に代入して，
$$\sin\theta+\cos\theta=2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{2}.$$
(b) (a) より，
$\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}.$
よって，
$$\sin\theta=\sqrt{2}-\cos\theta.$$
(2) に代入して，
$$(\sqrt{2}-\cos\theta)\cos\theta=\frac{1}{2}.$$
よって，
$$\sqrt{2}\cos\theta-\cos^2\theta=\frac{1}{2}.$$
よって，
$$2\cos^2\theta-2\sqrt{2}\cos\theta+1=0.$$
よって，
$$(\sqrt{2}\cos\theta-1)^2=0.$$
よって，
$$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
$\theta$ は第1象限の角であるから，
$$\theta=45^\circ+360^\circ\times n~~(n\text{は整数}).$$
問題2の解答
問題をもう1度確認。
$2$次方程式 $4x^2+2(\sqrt{3}-1)x+k=0$ の２つの解が $\sin\theta$, $\cos \theta$
であるとき，$k$ の値および $\theta$ の値を求めよ。
問題2の解答
$4x^2+2(\sqrt{3}-1)x+k=0$
の$2$ つの解が $\sin\theta$ $\cos \theta$
より，解と係数の関係より，
\begin{cases}
\sin\theta+\cos\theta=-\frac{2(\sqrt{3}-1)}{4}=-\frac{\sqrt{3}-1}{2},\\
\sin\theta\cos\theta=\frac{k}{4}.\tag{3}
\end{cases}
$(3)$ の第1式の両辺を2乗して，
$$\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{4}.$$
よって，
$$1+2\sin\theta\cos\theta=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{4}.$$
よって，
$$\sin\theta\cos\theta=\frac{4-2\sqrt{3}-4}{8}=-\frac{\sqrt{3}}{4}.$$
よって，$(3)$の第2式より，
$$\frac{k}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{4}.$$
よって，
$$k=-\sqrt{3}.$$
与式に代入して，
$$4x^2+2(\sqrt{3}-1)x-\sqrt{3}=0.$$
よって，
$$(2x+\sqrt{3})(2x-1)=0.$$
よって，
$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}.$$
(i) $\sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2},~~\cos\theta=\frac{1}{2}$ のとき，
$0^\circ\leqq\theta<360^\circ$ の範囲でこれを満たす $\theta$ は
$$\theta=300^\circ.$$
よって，
$$\theta=300^\circ+360^\circ\times n~~(n\text{は整数}).$$
(ii) $\sin\theta=\frac{1}{2},~~\cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき，
$0^\circ\leqq\theta<360^\circ$ の範囲でこれを満たす $\theta$ は
$$\theta=150^\circ.$$
よって，
$$\theta=150^\circ+360^\circ\times n~~(n\text{は整数}).$$
