【三角関数の合成】わかりやすく 解説

こんにちは。数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。

今日は三角関数の合成をわかりやすく解説しようと思います。

まず，

もう一度言います。

三角関数で覚えるのはただ１つ！ それは【加法定理】

覚え方は例えば１つ目なら

「さいた（sin）コスモス(cos)コスモス(cos)さいた(sin)」

3つ目なら

「コスモス(cos)コスモス(cos)さいた(sin)さいた(sin)」

ですよね。

さて，では三角関数の合成に入りたいと思います。

三角関数の合成を簡単に導く

三角関数の合成は

$${\color{red}a}\sin\theta+{\color{blue}b}\cos\theta$$

のように１つの式の中に

$\sin\theta$ と $\cos\theta$

の２つがあり，ちょっと扱いにくいなあ

と思った時に

これを sin だけで書いてやりたい

時に使います。

では，式を見ていきましょう。

私たちの目標は sin と cos の２つの式 を sin だけ で書きたいので

加法定理を思い出します。

加法定理は

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

と1つの sin を sin と cos で書いてあります。

そこで，式を変形してこの加法定理の右辺のようにしてやります。

まず，${\color{red}a},~{\color{blue}b}$ が邪魔なので，

$$\sqrt{{\color{red}a^2}+{\color{blue}b^2}}$$

を作り，前に出します。

そして，それを

$$\frac{1}{\sqrt{{\color{red}a^2}+{\color{blue}b^2}}}$$

で相殺します。

\begin{align*}
{\color{red}a}\sin\theta+{\color{blue}b}\cos\theta
=&~ \sqrt{{\color{red}a^2}+{\color{blue}b^2}}
\Big(
\sin\theta\frac{{\color{red}a}}{\sqrt{{\color{red}a^2}+{\color{blue}b^2}}}+\cos\theta\frac{{\color{blue}b}}{\sqrt{{\color{red}a^2}+{\color{blue}b^2}}}\Big)
\end{align*}

この式を加法定理の右辺の（　）の中身と見比べます。
($\alpha$ を $\theta$ に $\beta$ を $\alpha$ に変更してあります。)

つまり，

$$\sin(\theta+\alpha)=\underbrace{\sin\theta\,\color{red}{\cos\alpha}+\cos\theta\,\color{blue}{\sin\alpha}}_{\color{red}{ココ}}$$

と先程の式の（　）の中身
$${\color{red}a}\sin\theta+{\color{blue}b}\cos\theta
=\sqrt{a^2+b^2}\underbrace{\Big(\sin\theta\color{red}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}+\cos\theta\color{blue}{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\Big)}_{\color{red}{ココ}}$$

を見比べます。

すると，

$$\color{red}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\color{red}{\cos\alpha},$$

$$\color{blue}{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\color{blue}{\sin\alpha}$$

とおくと，

\begin{align*}
&{\color{red}a}\sin\theta+{\color{blue}b}\cos\theta\\
&~~=\sqrt{a^2+b^2}\Big(\sin\theta\color{red}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}+\cos\theta\color{blue}{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\Big)\\
&~~=
\sqrt{a^2+b^2}\Big(\underbrace{\sin\theta\color{red}{\cos\alpha}+\cos\theta\color{blue}{\sin\alpha}}_{\color{blue}{\text{ここに加法定理を使って}}}\Big)\\
&~~=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha).
\end{align*}

となります。結局，まとめてみると，

$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha).$$

を得ます。まとめると，

$\cos\alpha,~\sin\alpha$ をおける理由

ここで，１つ疑問があります。

なぜ

$$\color{red}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\color{red}{\cos\alpha},$$

$$\color{blue}{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\color{blue}{\sin\alpha}$$

とおけるのか確認してみましょう。

これには半径1位の円を sin, cos で書けることを知っていればOKです。

ちゃんと書くと

では，これを使って，確かめてみましょう。

$$\Big(\color{red}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\Big)^2+\Big(\color{blue}{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\Big)^2=\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}=1.$$

よって，上の 【定理】が使えるので，

確かに

$$\color{red}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\color{red}{\cos\alpha},$$

$$\color{blue}{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\color{blue}{\sin\alpha}$$

が言える。というわけです。

cos で合成する！

ここまでを理解できればひとまず大丈夫です。

そして，ここまで理解できた人は，

もう一度三角関数の加法定理を見てみましょう。

すると，次のことができそうだと思えると思います：

sin ではなく cos でかけるのではないか！？

そうです！実はできます。

ではやってみましょう！

\begin{align*}
{\color{red}a}\sin\theta+{\color{blue}b}\cos\theta
=&~ \sqrt{{\color{red}a^2}+{\color{blue}b^2}}
\Big(
\sin\theta\frac{{\color{red}a}}{\sqrt{{\color{red}a^2}+{\color{blue}b^2}}}+\cos\theta\frac{{\color{blue}b}}{\sqrt{{\color{red}a^2}+{\color{blue}b^2}}}\Big)
\end{align*}

ここまでは，sin の時と同じです。

ここで，cos の加法定理と見比べます。

\begin{align*}
\cos(\theta-\alpha)
=&~~\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\\
=&~~\sin\theta\color{red}{\sin\alpha}+\cos\theta\color{blue}{\cos\alpha}
\end{align*}

sinの時と同じように，先程の式の（　）の中身

$${\color{red}a}\sin\theta+{\color{blue}b}\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\Big(\sin\theta\color{red}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}+\cos\theta\color{blue}{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\Big)$$

と見比べます。そこで，

$$\color{red}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\color{red}{\sin\alpha},$$

$$\color{blue}{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\color{blue}{\cos\alpha}$$

とおくと，

\begin{align*}
&{\color{red}a}\sin\theta+{\color{blue}b}\cos\theta\\
&~~=\sqrt{a^2+b^2}\Big(\sin\theta\color{red}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}+\cos\theta\color{blue}{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\Big)\\
&~~=\sqrt{a^2+b^2}\Big(\sin\theta\color{red}{\sin\alpha}+\cos\theta\color{blue}{\cos\alpha}\Big)\\
&~~=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\alpha)
\end{align*}

とかけます。結局，まとめると，

$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\alpha).$$

となります。まとめると，

となります。

毎回毎回加法定理から導くようにしておけば，

「自分は理解しているから導くことができる」

と思えて，かなり心の余裕ができますし，

どんな問題が出てきても応用がききます。

そのため，三角関数は覚えずに，

理解するようにしましょう！

きっと，あなたにとって，いい結果をもたらしてくれます。

みなさんが少しでも数学を楽しんでくれると嬉しいです。