【高校数学の分かりやすいサイト】問題解説「三角形の形状」

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！

たーこ

今日は三角形の形状の問題です。
三角関数は
「毎回公式を導く」
ようにしよう！

問題

解答

左辺 $\cos A+\cos B$ は三角関数の足し算なので，
これを掛け算の形にする。
\begin{equation}
\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \tag{1}
\end{equation}
\begin{equation}
\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \tag{2}
\end{equation}
$(1)+(2)$ より，
\begin{equation}
\cos(a+b)+\cos (a-b)=2\cos a\cos b \tag{3}
\end{equation}
ここで，
$a+b=A,~~a-b=B$
とおくと，
$$a=\frac{A+B}{2},~~b=\frac{A-B}{2}$$
これらを $(3)$ に代入して，
\begin{equation}
\cos A+\cos B =~2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} 
\end{equation}
よって，与式は
\begin{equation}
2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} =\sin C \tag{4}
\end{equation}
となる。
ここで，$\triangle ABC$ は三角形なので，$C=180^\circ-(A+B)$
よって，
\begin{align*}
\sin C
=&~\sin(180^\circ-(A+B))\\
=&~-\sin(-(A+B))\\
=&~\sin(A+B).
\end{align*}
よって，$(4)$ に代入して，
$$2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} =\sin(A+B).$$
ここで，
$$\sin(A+B)=\sin\Big({\color{red}2}\frac{A+B}{{\color{red}2}}\Big)
=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$$
より，
$$2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} =2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A+B}{2}.$$
よって，
\begin{equation}
\cos\frac{A+B}{2}\Big(\cos\frac{A-B}{2}-\sin\frac{A+B}{2}\Big)=0. \tag{5}
\end{equation}
ここで，
\begin{align*}
\cos\frac{A+B}{2}
=&~\cos\frac{180^\circ-C}{2}\\
=&~\cos\Big(90-\frac{C}{2}\Big)\\
=&~\sin\frac{C}{2}
\end{align*}
$0^\circ<C<180^\circ$ より，
$$0<\sin\frac{C}{2}<1.$$
よって，特に
$$\cos\frac{A+B}{2}\Big(=\sin\frac{C}{2}\Big)\not=0.$$
よって，$(5)$ より，
\begin{equation}
\cos\frac{A-B}{2}=\sin\frac{A+B}{2}.\tag{6}
\end{equation}
\begin{align*}
\sin\frac{A+B}{2}
=&~\sin\frac{180^\circ-C}{2}\\
=&~\sin\Big(90^\circ-\frac{C}{2}\Big)\\
=&~\cos\frac{C}{2}\\
\end{align*}
$(6)$ に代入して，
$$\cos\frac{A-B}{2}=\cos\frac{C}{2}.$$
よって，
$$A-B=\pm C.$$

$(1)$ $A-B=C$ のとき，
$A=B+C$ より，
$$A=B+C=180^\circ-A.$$
よって，
$$2A=180^\circ.$$
よって，
$$A=90^\circ.$$
よって，$A$ が直角となる直角三角形。

(2) $A-B=-C$ のとき，
$B=A+C$ より，
$$B=A+C=180^\circ-B.$$
よって，
$$2B=180^\circ.$$
よって，
$$B=90^\circ.$$
よって，$B$ が直角となる直角三角形。

$(1),~(2)$ より，$\triangle ABC$ は $A$ または $B$ が直角である直角三角形。