【高校数学の分かりやすいサイト】問題解説「漸化式」

こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！

たーこ

今日は漸化式の問題です。
発想の転換が必要な問題だね。

問題

解答

考える式は
$$2a_{n+1}^2=a_n^3~~(n\geqq1)$$
である。

左辺と右辺に2乗，3乗があるので，これをなくしたい。

そこで，両辺 $\log$ をとることを考える。
ただ，左辺に2があるので底を2とする $\log_2$ をとる。
すると，

$$\log_22+\log_2a_{n+1}^2=\log_2a_n^3.$$
よって，
$$1+2\log_2a_{n+1}=3\log_2a_n$$
となる。

そこで，$b_n=\log_2a_n$ とおけば
$$1+2b_{n+1}=3b_n.$$
よって，後はこの一般項を求めればよい。

\begin{equation}
b_{n+1}=\frac{3}{2}b_n-\frac{1}{2}. \tag{1}
\end{equation}

一般項を求めるために，
$$b_{n+1}-{\color{red}\alpha}=\frac{3}{2}(b_n-{\color{red}\alpha})$$
とおく。
（この時の$\alpha$がわかれば，$b_{n+1}-\alpha$ は等比数列となるので，一般項をすぐに求められる。）
これを解くと，
$$b_{n+1}=\frac{3}{2}b_n-\frac{3}{2}{\color{red}\alpha}+{\color{red}\alpha}.$$
$$b_{n+1}=\frac{3}{2}b_n-\frac{1}{2}\alpha.$$

$(1)$ と比較して，
$$-\frac{1}{2}\alpha=-\frac{1}{2}.$$
よって，
$$\alpha=1.$$

よって，
$$b_{n+1}-1=\frac{3}{2}(b_n-1).$$

よって，
$\{b_n-1\}$ は公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列より，
$$b_n-1=\frac{3}{2}(b_{n-1}-1)=\Big(\frac{3}{2}\Big)^2(b_{n-2}-1)=\cdots=\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-1}(b_{1}-1).$$
ここで，$b_1=\log_2a_1=\log_2a$ より
$$b_n-1=\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-1}(\log_2a-1).$$
よって，
$$b_n=\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-1}(\log_2a-1)+1.$$
$b_n=\log_2a_n$ より，

\begin{align*}
\log_2a_n
=&~\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-1}(\log_2a-1)+1\\
=&~\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-1}(\log_2a-\log_22)+\log_22\\
=&~\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-1}\log_2\frac{a}{2}+\log_22\\
=&~\log_2\Big(\frac{a}{2}\Big)^{\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-1}}+\log_22\\
=&~\log_2\Big\{2\cdot\Big(\frac{a}{2}\Big)^{\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-1}}\Big\}\\
\end{align*}

よって，
$$a_n=2\cdot\Big(\frac{a}{2}\Big)^{\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-1}}.$$

今日のポイント