こんにちは。脱サラ数学者の妻たーこです。
「わかりやすい高校数学」。
今日も楽しんでいきましょう！
「軌跡」の問題は
まず
「求める点を(X,Y)とおく。」
という文から始めよう！
問題
次の条件を満たす点Pの軌跡を求めよ。
2つの直線
$3x-2y-8=0,~~2x+3y-1=0$
から等距離にある点P。
点Pは円$x^2+y^2-3x+4y+4=0$の周上を動くものとする。このとき，３点$P$，$A(4,-4)$, $B(2,3)$を頂点とする三角形$\triangle ABP$の重心Qの軌跡を求めよ。
解答
問題1の解答例
求める点を $(X,Y)$ とおく。
$(X,Y)$は2つの直線
$3x-2y-8=0,~~2x+3y-1=0$
から等距離にある点なので，
点 $(X,Y)$ と直線の距離を求める。
$(X,Y)$ と $3x-2y-8=0$ の距離は
$$\frac{|3X-2Y-8|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\frac{|3X-2Y-8|}{\sqrt{13}}.$$
$(X,Y)$ と $~2x+3y-1=0$ の距離は
$$\frac{|2X+3Y-1|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|2X+3Y-1|}{\sqrt{13}}.$$
よって，
$$\frac{|3X-2Y-8|}{\sqrt{13}}=\frac{|2X+3Y-1|}{\sqrt{13}}.$$
$$|3X-2Y-8|=|2X+3Y-1|.$$
よって，
$$3X-2Y-8=\pm(2X+3Y-1).$$
よって，
\begin{cases}
3X-2Y-8&=2X+3Y-1\\
3X-2Y-8&=-(2X+3Y-1)=-2X-3Y+1
\end{cases}
よって，
\begin{cases}
X-5Y-7=0\\
5X+Y-9=0
\end{cases}
よって，求める軌跡は
$$x-5y-7=0,~~5x+y-9=0.$$
問題2の解答例
まずは問題を再確認
点Pは円$x^2+y^2-3x+4y+4=0$の周上を動くものとする。このとき，３点$P$，$A(4,-4)$, $B(2,3)$を頂点とする三角形$\triangle ABP$の重心Qの軌跡を求めよ。
解答例
求める点Qを $(X,Y)$ とおく。
点 P を$(x,y)$ とおくと，
$Q(X,Y)$ は三角形$\triangle ABP$の重心なので，
$$X=\frac{x+4+2}{3},~~Y=\frac{y-4+3}{3}.$$
よって，
$$X=\frac{x+6}{3},~~Y=\frac{y-1}{3}$$
とかける。
点 $P(x,y)$ は $x^2+y^2-3x+4y+4=0$ 上を動くので，
$$x=3X-6,~~y=3Y+1$$
を代入して，
\begin{align*}
(3X-6)^2+(3Y+1)^2-3(3X-6)+4(3Y+1)+4=&0\\
9X^2-36X+36+9Y^2+6Y+1-9X+18+12Y+4+4=&0\\
9X^2-45X+9Y^2+18Y+63=&0\\
X^2-5X+Y^2+2Y+7=&0
\end{align*}
よって，求める軌跡は
$$x^2-5x+y^2+2y+7=0.$$
今日のポイント
2. 点と直線の距離の公式
点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ との距離は
$$\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
3. 絶対値の外し方
$$|F|=\pm F$$
【おまけ】解答例の絶対値の外し方はどうしてそうなるの？
$$|3X-2Y-8|=|2X+3Y-1|$$
は
$$3X-2Y-8=\pm(2X+3Y-1)$$
となるのはなぜなのか確認しよう。
$$|3X-2Y-8|=|2X+3Y-1|.$$
の絶対値をはずしたい。
上の絶対値の外し方から
$$|3X-2Y-8|=\pm (3X-2Y-8),$$
$$|2X+3Y-1|=\pm (2X+3Y-1).$$
よって，
1. $|3X-2Y-8|=3X-2Y-8$ のとき，
$$|3X-2Y-8|=|2X+3Y-1|$$
は
$$3X-2Y-8=\pm(2X+3Y-1).$$
2. $|3X-2Y-8|=-(3X-2Y-8)$ のとき，
$$|3X-2Y-8|=|2X+3Y-1|$$
は
$$-(3X-2Y-8)=\pm(2X+3Y-1).$$
これは
$$(3X-2Y-8)=\mp(2X+3Y-1).$$
だが，右辺はもちろん $\pm(2X+3Y-1)$なので，
1,2より，
$$(3X-2Y-8)=\pm(2X+3Y-1)$$
となる。
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